Подробнее
Пример интегрируемой по Риману функции, не имеющей первообразную Пример не интегрируемой по Риману функции, имеющей первообразную
Приколы для математиков,geek,Прикольные гаджеты. Научный, инженерный и айтишный юмор,мемасы
Еще на тему
Приколы для математиков geek мемасы
Подробнее
Пример интегрируемой по Риману функции, не имеющей первообразную Пример не интегрируемой по Риману функции, имеющей первообразную
Приколы для математиков,geek,Прикольные гаджеты. Научный, инженерный и айтишный юмор,мемасы
Подробнее
Пример интегрируемой по Риману функции, не имеющей первообразную Пример не интегрируемой по Риману функции, имеющей первообразную
Приколы для математиков,geek,Прикольные гаджеты. Научный, инженерный и айтишный юмор,мемасы
боялся увидеть в тегах «приколы для даунов со знанием математики»
Так это он и есть, просто сокращенный.
З.Ы. При чём здесь Риман - в душе не ебу
Второе - гуглится пример x^2 sin(1/x^2).
У этой функции можно взять производную, но она будет такая всратая около нуля, что по Риману не интегрируема. Там будет бесконечное количетсво осцилляций. Эту фигню можно по Лебегу проинтегрировать, но не по Римиану.
|2x sin(1/x^2) - 2/x cos(1/x^2)| вряд ли интегрируема по Лебегу в районе 0 из-за 2/x члена.
1. Интегрируемо по Лебегу далеко не всё,
2. Интегрируемость по Лебегу намного свободнее интегрируемости по Риману в вопросах того, насколько плохо функция ведёт себя локально. В этом плане, например |F’(x)|, где F(x)=x^2sin(1/x^2), интегрируема по Лебегу и даёт значение +бесконечность.
Но интеграл Лебега не лучше интеграла Римана, если проблема не в локальном поведении, а в том, что интеграл тупо расходится. Почитай определение интеграла Лебега : ты сначала определяешь его для любых положительных (измеримых) функций, а потом определяешь на все (измеримые) функции, говоря, что интеграл f dμ это интеграл положительной части минус интеграл отрицательной части. И это выражение как раз имеет смысл только если хоть один из двух этих интегралов имеет конечное значение, иначе ты пишешь бесконечность минус бесконечность, и Лебег тебе не поможет.
Этот интеграл считается только несобственным интегралом, который является пределом интегралов (каких хочешь, хоть Лебега, хоть Римана), что делает из него не интеграл, а нечто немного более читерское.
А про функцию Дирихле… она по Лебегу равна нулю почти всюду, конечно он её интегрирует. Проблема в бесконечностях, а не в том как выглядит твоя функция.
Тем не менее как и у любой теоремы, у неё есть какие-то требования/гипотезы. У f должна существовать первообразная и она должна быть интегрируема по Риману. Хотелось бы думать, что эти два условия непременно связаны, но оказывается не так :
1. Можно легко построить пример функции, которая интегрируема по Риману, но не имеет первообразной. Например, f(x) = 0 для x=1 на интервале [0, 2].
2. Можно чуть менее легко построить пример функции, у которой есть первообразная, но которая не интегрируема в смысле Римана. Например, F(x)= x^2 sin(1/x^2), дополненная непрерывно F(0)=0, f(x) = F’(x) = 2x sin(1/x^2) - 2/x cos(1/x^2), дополненная в нуле f(0)=0. Но f не интегрируема по Риману на [0; 1], т к одно из требований Риман-интегрируемости — это ограниченность, чего f не имеет.
Соответственно, суть мема в том, что контрпримеры для первого случая это зачастую простенькие функции со скачками, а для второго — хтонические монстры.